3.105 \(\int (c+d x)^4 \cot ^2(a+b x) \, dx\)

Optimal. Leaf size=155 \[ -\frac{6 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{4 d (c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d} \]

[Out]

((-I)*(c + d*x)^4)/b - (c + d*x)^5/(5*d) - ((c + d*x)^4*Cot[a + b*x])/b + (4*d*(c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(a
+ b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(
(2*I)*(a + b*x))])/b^4 + ((3*I)*d^4*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^5

________________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 0.22885, antiderivative size = 155, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 8, number of rules used = 8, integrand size = 16, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.5, Rules used = {3720, 3717, 2190, 2531, 6609, 2282, 6589, 32} \[ -\frac{6 i d^2 (c+d x)^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 (c+d x) \text{PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^4 \text{PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}+\frac{4 d (c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]

Int[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^2,x]

[Out]

((-I)*(c + d*x)^4)/b - (c + d*x)^5/(5*d) - ((c + d*x)^4*Cot[a + b*x])/b + (4*d*(c + d*x)^3*Log[1 - E^((2*I)*(a
+ b*x))])/b^2 - ((6*I)*d^2*(c + d*x)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 + (6*d^3*(c + d*x)*PolyLog[3, E^(
(2*I)*(a + b*x))])/b^4 + ((3*I)*d^4*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^5

Rule 3720

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[(b*(c + d*x)^m*(b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1))/(f*(n - 1)), x] + (-Dist[(b*d*m)/(f*(n - 1)), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 3717

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[(I*(c + d*x)^(m + 1))/(d*
(m + 1)), x] - Dist[2*I, Int[((c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x)))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 2190

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a])/(b*f*g*n*Log[F]), x]
- Dist[(d*m)/(b*f*g*n*Log[F]), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + (b*(F^(g*(e + f*x)))^n)/a], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2531

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> -Simp[((
f + g*x)^m*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)])/(b*c*n*Log[F]), x] + Dist[(g*m)/(b*c*n*Log[F]), Int[(f + g*x)
^(m - 1)*PolyLog[2, -(e*(F^(c*(a + b*x)))^n)], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 6609

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[((e + f*x)^m*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p])/(b*c*p*Log[F]), x] - Dist[(f*m)/(b*c*p*Log[F]), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rule 2282

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 6589

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 32

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && N
eQ[m, -1]

Rubi steps

\begin{align*} \int (c+d x)^4 \cot ^2(a+b x) \, dx &=-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}+\frac{(4 d) \int (c+d x)^3 \cot (a+b x) \, dx}{b}-\int (c+d x)^4 \, dx\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}-\frac{(8 i d) \int \frac{e^{2 i (a+b x)} (c+d x)^3}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx}{b}\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}+\frac{4 d (c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{\left (12 d^2\right ) \int (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}+\frac{4 d (c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{\left (12 i d^3\right ) \int (c+d x) \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3}\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}+\frac{4 d (c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}-\frac{\left (6 d^4\right ) \int \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^4}\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}+\frac{4 d (c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{\left (3 i d^4\right ) \operatorname{Subst}\left (\int \frac{\text{Li}_3(x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ &=-\frac{i (c+d x)^4}{b}-\frac{(c+d x)^5}{5 d}-\frac{(c+d x)^4 \cot (a+b x)}{b}+\frac{4 d (c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^2}-\frac{6 i d^2 (c+d x)^2 \text{Li}_2\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac{6 d^3 (c+d x) \text{Li}_3\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^4}+\frac{3 i d^4 \text{Li}_4\left (e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^5}\\ \end{align*}

Mathematica [B]  time = 6.72704, size = 795, normalized size = 5.13 \[ -\frac{e^{i a} \csc (a) \left (b^4 e^{-2 i a} x^4+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right ) x^3+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right ) x^3-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b^2 \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right ) x^2-2 i b \text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right ) x-2 \text{PolyLog}\left (4,-e^{-i (a+b x)}\right )\right )-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b^2 \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right ) x^2-2 i b \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right ) x-2 \text{PolyLog}\left (4,e^{-i (a+b x)}\right )\right )\right ) d^4}{b^5}-\frac{2 c e^{i a} \csc (a) \left (2 b^3 e^{-2 i a} x^3+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right ) x^2+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right ) x^2-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b x \text{PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )\right )-6 e^{-2 i a} \left (-1+e^{2 i a}\right ) \left (b x \text{PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )-i \text{PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )\right )\right ) d^3}{b^4}-\frac{6 c^2 \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \tan ^{-1}(\tan (a))} x^2+\frac{\left (i b x \left (2 \tan ^{-1}(\tan (a))-\pi \right )-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right ) \log \left (1-e^{2 i \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \tan ^{-1}(\tan (a)) \log \left (\sin \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )\right )+i \text{PolyLog}\left (2,e^{2 i \left (b x+\tan ^{-1}(\tan (a))\right )}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt{\tan ^2(a)+1}}\right ) d^2}{b^3 \sqrt{\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}}+\frac{4 c^3 \csc (a) (\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a)-b x \cos (a)) d}{b^2 \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}-\frac{1}{5} x \left (5 c^4+10 d x c^3+10 d^2 x^2 c^2+5 d^3 x^3 c+d^4 x^4\right )+\frac{\csc (a) \csc (a+b x) \left (\sin (b x) c^4+4 d x \sin (b x) c^3+6 d^2 x^2 \sin (b x) c^2+4 d^3 x^3 \sin (b x) c+d^4 x^4 \sin (b x)\right )}{b} \]

Warning: Unable to verify antiderivative.

[In]

Integrate[(c + d*x)^4*Cot[a + b*x]^2,x]

[Out]

-(x*(5*c^4 + 10*c^3*d*x + 10*c^2*d^2*x^2 + 5*c*d^3*x^3 + d^4*x^4))/5 - (2*c*d^3*E^(I*a)*Csc[a]*((2*b^3*x^3)/E^
((2*I)*a) + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Lo
g[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - I*PolyLog[3, -E^((-I)
*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b*x*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] - I*PolyLog[3, E^((-I)*
(a + b*x))]))/E^((2*I)*a)))/b^4 - (d^4*E^(I*a)*Csc[a]*((b^4*x^4)/E^((2*I)*a) + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^
3*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - (6*(-1 + E^((2*
I)*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - (2*I)*b*x*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))] - 2*PolyLog[4, -E^
((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a) - (6*(-1 + E^((2*I)*a))*(b^2*x^2*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] - (2*I)*b*x*Po
lyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))] - 2*PolyLog[4, E^((-I)*(a + b*x))]))/E^((2*I)*a)))/b^5 + (4*c^3*d*Csc[a]*(-(b*x*C
os[a]) + Log[Cos[b*x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)) + (Csc[a]*Csc[a + b*x]*(c
^4*Sin[b*x] + 4*c^3*d*x*Sin[b*x] + 6*c^2*d^2*x^2*Sin[b*x] + 4*c*d^3*x^3*Sin[b*x] + d^4*x^4*Sin[b*x]))/b - (6*c
^2*d^2*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b
*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]
]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2])
)/(b^3*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

________________________________________________________________________________________

Maple [B]  time = 0.213, size = 913, normalized size = 5.9 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

int((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2,x)

[Out]

-24*I*d^3/b^3*c*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x-2*I*(d^4*x^4+4*c*d^3*x^3+6*c^2*d^2*x^2+4*c^3*d*x+c^4)/b/(exp(2*I*(
b*x+a))-1)+4*d^4/b^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3-2*I*d^4/b*x^4-8*d/b^2*c^3*ln(exp(I*(b*x+a)))+4*d/b^2*c^3*ln(exp(
I*(b*x+a))-1)+24*I*d^4/b^5*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))-6*I*d^4/b^5*a^4+4*d/b^2*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+24*d^4/
b^4*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x+24*d^4/b^4*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x-4*d^4/b^5*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+24*
d^3/b^4*c*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))+24*d^3/b^4*c*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))+8*d^4/b^5*a^3*ln(exp(I*(b*x+a)))+2
4*I*d^4*polylog(4,exp(I*(b*x+a)))/b^5-1/5*d^4*x^5-c^4*x-12*d^2/b^3*c^2*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)+12*d^3/b^4*c*a^2
*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-24*I*d^2/b^2*c^2*a*x-24*I*d^3/b^3*c*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+12*d^3/b^2*c*ln(exp(I*(
b*x+a))+1)*x^2+12*d^3/b^2*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*d^3/b^4*c*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2-12*I*d^2/b^3*c^2*po
lylog(2,exp(I*(b*x+a)))-12*I*d^4/b^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2-2*c^2*d^2*x^3-2*c^3*d*x^2-24*d^3/b^4*c*a^2*
ln(exp(I*(b*x+a)))+24*d^2/b^3*c^2*a*ln(exp(I*(b*x+a)))-c*d^3*x^4+24*I*d^3/b^3*c*a^2*x-12*I*d^2/b^3*c^2*polylog
(2,-exp(I*(b*x+a)))-12*I*d^4/b^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2-12*I*d^2/b*c^2*x^2-8*I*d^3/b*c*x^3-8*I*d^4/b^4
*a^3*x+16*I*d^3/b^4*c*a^3-12*I*d^2/b^3*c^2*a^2+4*d^4/b^5*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3+4*d^4/b^2*ln(exp(I*(b*x+a))+
1)*x^3+12*d^2/b^2*c^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+12*d^2/b^3*c^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+12*d^2/b^2*c^2*ln(exp(I*(b*
x+a))+1)*x

________________________________________________________________________________________

Maxima [B]  time = 3.24618, size = 4359, normalized size = 28.12 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="maxima")

[Out]

-((b*x + a + 1/tan(b*x + a))*c^4 - 4*(b*x + a + 1/tan(b*x + a))*a*c^3*d/b + 6*(b*x + a + 1/tan(b*x + a))*a^2*c
^2*d^2/b^2 - 4*(b*x + a + 1/tan(b*x + a))*a^3*c*d^3/b^3 + (b*x + a + 1/tan(b*x + a))*a^4*d^4/b^4 + 2*((b*x + a
)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)^2 - (cos(
2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x
+ a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x +
a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*c^3*d/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2
*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b) - 6*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(b*x + a)^2
*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)^2 - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b
*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*
a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*a*c^2*d^2/((
cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^2) + 6*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (
b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) + (b*x + a)^2 - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x
+ 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (cos(2*b*x + 2
*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1)
+ 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*a^2*c*d^3/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)
*b^3) - 2*((b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a)^2 + (b*x + a)^2*sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*(b*x + a)^2*cos(2*b*x + 2*a) +
(b*x + a)^2 - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x
+ a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) - (cos(2*b*x + 2*a)^2 + sin(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*log(cos(b*x
+ a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 4*(b*x + a)*sin(2*b*x + 2*a))*a^3*d^4/((cos(2*b*x + 2*a)^2 + s
in(2*b*x + 2*a)^2 - 2*cos(2*b*x + 2*a) + 1)*b^4) - (-I*(b*x + a)^5*d^4 + (-5*I*b*c*d^3 + 5*I*a*d^4)*(b*x + a)^
4 + (-10*I*b^2*c^2*d^2 + 20*I*a*b*c*d^3 - 10*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^3 - (20*(b*x + a)^3*d^4 + 60*(b*c*d^3 - a*d^
4)*(b*x + a)^2 + 60*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) - 20*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4
)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (20*I*(b*x + a)^3*d^4 +
(60*I*b*c*d^3 - 60*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (60*I*b^2*c^2*d^2 - 120*I*a*b*c*d^3 + 60*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2
*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + (20*(b*x + a)^3*d^4 + 60*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2
+ 60*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a) - 20*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 +
3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-20*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-60*I*b*c*d^3
+ 60*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-60*I*b^2*c^2*d^2 + 120*I*a*b*c*d^3 - 60*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))
*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a) + 1) + (I*(b*x + a)^5*d^4 + (5*I*b*c*d^3 - 5*(I*a + 2)*d^4)*(b*x + a)^4 +
(10*I*b^2*c^2*d^2 - 20*(I*a + 2)*b*c*d^3 + (10*I*a^2 + 40*a)*d^4)*(b*x + a)^3 - 60*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3
+ a^2*d^4)*(b*x + a)^2)*cos(2*b*x + 2*a) + (60*b^2*c^2*d^2 - 120*a*b*c*d^3 + 60*(b*x + a)^2*d^4 + 60*a^2*d^4
+ 120*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) - 60*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + (b*x + a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a
*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-60*I*b^2*c^2*d^2 + 120*I*a*b*c*d^3 - 60*I*(b*x + a)^2*d^4 - 60*I*a^2*d^4
+ (-120*I*b*c*d^3 + 120*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + (60*b^2*c^2*d^2 - 120
*a*b*c*d^3 + 60*(b*x + a)^2*d^4 + 60*a^2*d^4 + 120*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a) - 60*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3
+ (b*x + a)^2*d^4 + a^2*d^4 + 2*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (-60*I*b^2*c^2*d^2 + 120*I*a*
b*c*d^3 - 60*I*(b*x + a)^2*d^4 - 60*I*a^2*d^4 + (-120*I*b*c*d^3 + 120*I*a*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*di
log(e^(I*b*x + I*a)) + (10*I*(b*x + a)^3*d^4 + (30*I*b*c*d^3 - 30*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (30*I*b^2*c^2*d^2 - 6
0*I*a*b*c*d^3 + 30*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (-10*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-30*I*b*c*d^3 + 30*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 +
(-30*I*b^2*c^2*d^2 + 60*I*a*b*c*d^3 - 30*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 10*((b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c
*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x +
a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + (10*I*(b*x + a)^3*d^4 + (30*I*b*c*d^3 - 30*I*a*d^4)*(b*x + a)^2
+ (30*I*b^2*c^2*d^2 - 60*I*a*b*c*d^3 + 30*I*a^2*d^4)*(b*x + a) + (-10*I*(b*x + a)^3*d^4 + (-30*I*b*c*d^3 + 30
*I*a*d^4)*(b*x + a)^2 + (-30*I*b^2*c^2*d^2 + 60*I*a*b*c*d^3 - 30*I*a^2*d^4)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 10*(
(b*x + a)^3*d^4 + 3*(b*c*d^3 - a*d^4)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d^2 - 2*a*b*c*d^3 + a^2*d^4)*(b*x + a))*sin(2*b
*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x + a) + 1) + 120*(d^4*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^4*sin(2
*b*x + 2*a) - d^4)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) + 120*(d^4*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^4*sin(2*b*x + 2*a) - d^4)*po
lylog(4, e^(I*b*x + I*a)) + (120*I*b*c*d^3 + 120*I*(b*x + a)*d^4 - 120*I*a*d^4 + (-120*I*b*c*d^3 - 120*I*(b*x
+ a)*d^4 + 120*I*a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + 120*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3,
-e^(I*b*x + I*a)) + (120*I*b*c*d^3 + 120*I*(b*x + a)*d^4 - 120*I*a*d^4 + (-120*I*b*c*d^3 - 120*I*(b*x + a)*d^4
+ 120*I*a*d^4)*cos(2*b*x + 2*a) + 120*(b*c*d^3 + (b*x + a)*d^4 - a*d^4)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, e^(I*b*x
+ I*a)) - ((b*x + a)^5*d^4 + (5*b*c*d^3 - (5*a - 10*I)*d^4)*(b*x + a)^4 + (10*b^2*c^2*d^2 - (20*a - 40*I)*b*c
*d^3 + 10*(a^2 - 4*I*a)*d^4)*(b*x + a)^3 - (-60*I*b^2*c^2*d^2 + 120*I*a*b*c*d^3 - 60*I*a^2*d^4)*(b*x + a)^2)*s
in(2*b*x + 2*a))/(-5*I*b^4*cos(2*b*x + 2*a) + 5*b^4*sin(2*b*x + 2*a) + 5*I*b^4))/b

________________________________________________________________________________________

Fricas [C]  time = 0.618904, size = 2034, normalized size = 13.12 \begin{align*} \text{result too large to display} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="fricas")

[Out]

-1/10*(10*b^4*d^4*x^4 + 40*b^4*c*d^3*x^3 + 60*b^4*c^2*d^2*x^2 + 40*b^4*c^3*d*x + 10*b^4*c^4 - 15*I*d^4*polylog
(4, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a))*sin(2*b*x + 2*a) + 15*I*d^4*polylog(4, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b
*x + 2*a))*sin(2*b*x + 2*a) - (-30*I*b^2*d^4*x^2 - 60*I*b^2*c*d^3*x - 30*I*b^2*c^2*d^2)*dilog(cos(2*b*x + 2*a)
+ I*sin(2*b*x + 2*a))*sin(2*b*x + 2*a) - (30*I*b^2*d^4*x^2 + 60*I*b^2*c*d^3*x + 30*I*b^2*c^2*d^2)*dilog(cos(2
*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a))*sin(2*b*x + 2*a) - 20*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2 + 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4
)*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*I*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2)*sin(2*b*x + 2*a) - 20*(b^3*c^3*d - 3*a*b^2*c^2*d^2
+ 3*a^2*b*c*d^3 - a^3*d^4)*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a) - 1/2*I*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2)*sin(2*b*x + 2*a) - 20*(b
^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*log(-cos(2*b*x + 2
*a) + I*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(2*b*x + 2*a) - 20*(b^3*d^4*x^3 + 3*b^3*c*d^3*x^2 + 3*b^3*c^2*d^2*x + 3*a*b^2
*c^2*d^2 - 3*a^2*b*c*d^3 + a^3*d^4)*log(-cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1)*sin(2*b*x + 2*a) - 30*(b*d
^4*x + b*c*d^3)*polylog(3, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a))*sin(2*b*x + 2*a) - 30*(b*d^4*x + b*c*d^3)*po
lylog(3, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a))*sin(2*b*x + 2*a) + 10*(b^4*d^4*x^4 + 4*b^4*c*d^3*x^3 + 6*b^4*c
^2*d^2*x^2 + 4*b^4*c^3*d*x + b^4*c^4)*cos(2*b*x + 2*a) + 2*(b^5*d^4*x^5 + 5*b^5*c*d^3*x^4 + 10*b^5*c^2*d^2*x^3
+ 10*b^5*c^3*d*x^2 + 5*b^5*c^4*x)*sin(2*b*x + 2*a))/(b^5*sin(2*b*x + 2*a))

________________________________________________________________________________________

Sympy [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int \left (c + d x\right )^{4} \cot ^{2}{\left (a + b x \right )}\, dx \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)**4*cot(b*x+a)**2,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**4*cot(a + b*x)**2, x)

________________________________________________________________________________________

Giac [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \begin{align*} \int{\left (d x + c\right )}^{4} \cot \left (b x + a\right )^{2}\,{d x} \end{align*}

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]

integrate((d*x+c)^4*cot(b*x+a)^2,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^4*cot(b*x + a)^2, x)